Какие напряжения испытывает зуб

Опубликовано: 01.05.2024

Достоинства:
практически неограниченная передаваемая мощность
малые габариты и вес
стабильное передаточное отношение
высокий КПД, который составляет в среднем 0,97 — 0,98

Недостатки:
шум в работе на высоких скоростях (может быть снижен при применении зубьев соответствующей геометрической формы и улучшении качества обработки профилей зубьев)

Преимущественное распространение получили передачи с зубьями эвольвентного профиля, которые изготавливаются массовым методом обкатки на зубофрезерных или зубодолбежных станках. Достоинство эвольвентного зацепления состоит в том, что оно мало чувствительно к колебанию межцентрового расстояния

При высоких угловых скоростях вращения рекомендуется применять косозубые шестерни, в которых зубья входят о зацепление плавно, что и обеспечивает относительно бесшумную работу.
Недостатком косозубых шестерен является наличие осевых усилий, которые дополнительно нагружают подшипники. Этот недостаток можно устранить, применив сдвоенные шестерни с равнонаправленными спиралями зубьев или шевронные шестерни.
Шевронные шестерни, ввиду высокой стоимости и трудности изготовления применяются сравнительно редко — лишь для уникальных передач большой мощности.
При малых угловых скоростях вращения применяются конические прямозубые шестерни, при больших — шестерни с круговым зубом, которые в настоящее время заменили конические косозубые шестерни, применяемые ранее.
Конические гипоидные шестерни тоже имеют круговой зуб, однако оси колес в них смещены, что создает особенно плавную и бесшумную работу. Передаточное отнесение в зубчатых парах колеблется в широких пределах, однако обычно оно равно 3 — 5

Основные определения из теории зацепления шестерен

Начальными называются воображаемые окружности, которые при зацеплении шестерен катятся без скольжения одна по другой

Делительными называются воображаемые окружности, по которым происходит номинальное деление зубьев. Для них справедливо уравнение:
d _д = mZ
Если шестерни не имеют коррекции, то начальные и делительные окружности совпадают

Окружностями выступов и впадин называются окружности, ограничивающие вершины и впадины зубьев

Основными называются окружности, по которым развертываются эвольвенты, очерчивающие профили зубьев
d ₀ = d _д cosα

Шагом t называется расстояние по дуге делительной окружности между одноименными профилями соседних зубьев

Основным шагом t ₀ называется шаг по основной окружности

Модулем называется отношение диаметра делительной окружности к числу зубьев или шага к π

Ритчем р называется число зубьев, приходящееся на один дюйм делительной окружности

Линией зацепления ЛЗ называется геометрическое место точек контакта зубьев в зацеплении. В эвольвентном зацеплении ЛЗ — прямая, нормальная к профилю зубьев в полюсе зацепления и касательная к основным окружностям

Углом зацепления α называется угол между линией зацепления и перпендикуляром к линии центров

Углом наклона спирали зубьев косозубых шестерен β называется угол между осью зуба и образующей делительного цилиндра или конуса

Коэффициентом перекрытия ε называется отношение дуги зацепления к основному шагу

Коэффициентом коррекции ξ называется отношение величины профильного смещения к модулю

Материал и термообработка шестерен

Стальные шестерни изготавливаются из качественных и легированных сталей с термообработкой.
Наибольшее распространение получили: для серийного производства — улучшение; для серийного и массового — цементация и закалка (при наличии соответствующего оборудования — закалка токами высокой частоты)

Термообработка	Твердость	Материал	Примечания
Улучшение (закалка до малой твердости)	НB 260-300	Сталь 40 Сталь 45 Cталь 40X Сталь 45Х	Окончательная нарезка зубьев после термообработки во избежание коробления
Закалка	HRC 40-50	Сталь 40Х Сталь 40ХН	Необходима шлифовка зубьев по профилю для устранения коробления
Цементация и закалка	HRC 56-63	Сталь 20Х Сталь 18ХГТ 12ХНЗА 20ХНЗА 18ХНЗА	Окончательная обработка зубьев до термообработки. Коробление невелико
Закалка ТВЧ	НRC 50-60	Сталь 45 Сталь 40Х	Только для крупных шестерен с модулем > 8

Расчетные геометрические зависимости

Прямозубые и косозубые цилиндрические шестерни

Передаточное отношение i :

где, f ₀ — коэффициент высоты зуба; t и m — нормальный шаг и модуль; t _s и m _s — торцевой шаг и модуль; β — угол спирали зуба

Ряд наиболее распространенных стандартных модулей:
… 1; 1,5; 2; 2,5; 3; 3,5; 4; 4,5; 5; 6; 7; 8; 10; 12 …
Стандартный угол зацепления α — 20°. Для бесшумной и плавной работы косозубых шестерен необходимо перекрытие зубьев: последующий зуб должен входить в зацепление раньше, чем выйдет из зацепления предыдущий

Прямозубые конические шестерни

Все o6paзующие зубьев сходятся в одной точке пересечения осей. Номинальный делительный диаметр, шаг и модуль отсчитываются по большому основанию делительного конуса

Передаточное отношение i:

Средний диаметр и модуль:

где, m _c — средний модуль;
L — конусное расстояние — длина образующей делительного конуса;
b — ширина зубьев шестерен;
γ — углы конусности

Силы, действующие в зацеплении шестерен

Прямозубые цилиндрические шестерни

Нормальная сила, действующая по линии зацепления, разлагается на две составляющие силы:
P = P _ncosα — окружное усилие;
R = P _nsinα — радиальное усилие

На валы действуют те же силы, что и на зубья шестерен, и, кроме того, еще крутящий момент:

Косозубые цилиндрические шестерни

Здесь, вследствие наклона зубьев к образующей, дополнительно возникает еще осевое усилие
окружное усилие

радиальное усилие:

осевое усилие:

нормальное усилие:

Силы P, R, A необходимо определить для расчета валов и подшипников, сила P _n необходима для расчета зубьев шестерен на прочность. Силу A можно уравновесить, применив сдвоенные косозубые шестерни с разнонаправленными спиралями зубьев или шевронные

Конические прямозубые шестерни

Осевое усилие для шестерни или радиальное для колеса: A_ш = R_к = R sinγ_ш = P tgα sinγ_ш
Радиальное усилие для шестерни или осевое для колеса: R_ш = A_к = R cosγ_ш = P tgα cosγ_ш
Нормальное усилие:

Силы Р, A_ш, R_ш — для расчета валов и подшипников, cила Р_n — для расчета зубьев на прочность;
d_э, Z_э — диаметры и числа зубьев эквивалентных цилиндрических колес

Воображаемые эквивалентные цилиндрические колеса строятся в плоскости мгновенного зацепления основных конических колес так, что оси тех и других совпадают. Работают эти колеса точно так же, как и основные конические, поэтому такое построение удобно использовать для выяснения действующих сил и напряжений в конических колесах

Дефекты шестерен

Закрытыми называются передачи, заключенные в пыленепроницаемый закрытый корпус, с организованной смазкой.
Открытыми называются передачи, не защищенные от пыли, с нерегулярной смазкой

Износ поверхностей зубьев — очень значительный в открытых передачах и небольшой в закрытых. Меры борьбы с износом — повышение поверхностной твердости зубьев

Питинг — поверхностное выкрашивание зубьев в зоне полосной линии. Возникает вследствие усталости поверхностного слоя зубьев в результате высоких контактных напряжений. Питинг начинается с образования усталостных микротрещин, которые под влиянием циклических нагрузок постепенно развиваются, чему способствует высокое давление масла в зоне контакта зубьев. В открытых передачах питинг обычно не возникает, так как микротрещины изнашиваются раньше, чем успеют развиться.
Меры борьбы с питингом заключаются в повышении жесткости корпусов, валов и опор и точности их изготовления с целью увеличения площадок контакта зубьев

Усталостная изгибная поломка зубьев.
Меры борьбы — увеличение модуля или улучшение качества материала и термообработки

Задиры поверхностей зубьев могут иметь место в тихоходных сильно нагруженных передачах.
Меры борьбы — применение противозадирных смазок, содержащих животные жиры и графит

Расчет зубьев цилиндрических прямозубых шестерен

Расчет на контактную прочность поверхности зубьев

Расчет базируется на известной формуле Герца для контактного сжатия цилиндров с параллельными осями:

Характерными особенностями контактного сжатия являются:
а) весьма ограниченная площадь контакта я а связи с этим высокие напряжения;
б) объемный характер напряженного состояния;
в) эллиптическая эпюра контактных напряжений, распространяющаяся только на зону контакта
Теоретически интенсивность нагрузки:

Выразим r _м и r _к через межцентровое расстояние А:

В действительности расчетная интенсивность нагрузки будет отличаться от теоретической на величину поправочных коэффициентов К_к и К_д

Здесь: К_к — коэффициент концентрации нагрузки, выражающий неполноту контакта по линии. Он зависит от деформации валов и ширины шестерен. К_д — коэффициент динамичности нагрузки, зависящий от окружной скорости и чистоты обработки поверхности зубьев.

Приведенная кривизна зубьев шестерен в точке контакта

(Знак минус для внутреннего зацепления).

Здесь: ρ_ш и ρ_к — мгновенные радиусы кривизны в полосе зацепления

Приведенный модуль упругости:

Здесь: Е_ш и Е_к — модули упругости материала шестерни и колеса.

Если обе шестерни изготовлены из одного материала, то в формулу подставляется:

Подставляя в основную формулу все величины, получим

Выразив крутящий момент на оси колеса через мощность в кВт:

Получаем проверочную формулу в окончательном виде:

По этой формуле можно проверить и сравнить с допускаемыми, действующие в данной передаче, контактные напряжения.

Для проектного расчета эта формула преобразуется, для чего ширина шестерни выражается через межцентровое расстояние.

Коэффициент относительной ширины

Для редукторов в среднем ψ = 0,2 ÷ 0,4.
Для коробок передач ψ = 0,1 ÷ 0,2.
Здесь: b — ширина шестерни в см;
А — межцентровое расстояние в см;
n_к — число оборотов в минуту вала колеса;
N — мощность на валу колеса в кВт;
[σ] — допускаемое контактное напряжение.
По полученной величине межцентрового расстояния можно подобрать модуль, задавшись числом зубьев малой шестерни Z_ш = 17 — 25 (с коррекцией Z ≥ 14)

Определение допускаемых контактных напряжений

При циклических нагрузках допускаемые напряжения зависят не только от материала и термообработки, но также и от числа циклов нагружения (времени работы), которое в формуле фигурирует в виде коэффициента режима нагрузки К_р

[σ]_к = [σ]_таб К_р
где [σ]_таб — табличное допускаемое напряжение;
[σ]_таб = С₁ НВ — для улучшенных сталей;
[σ]_таб = С₂ HRC — для цементированных и закаленных сталей.
Здесь: С₁ и С₂ — табличные коэффициенты, зависящие от принятого материала и термообработки.
При постоянном режиме нагрузки:

N_ц = 60nt – число циклов нагружения

При переменном режиме нагрузки:

где M_i, n_i, t_i — крутящий момент, число оборотов и время работы в часах на каждой ступени усредненного графика нагрузки.
Минимальные значения К_p ограничены наступлением длительного предела выносливости. Для улучшенных сталей К_p ≥ 1, для цементированных и закаленных сталей К_p ≥ 0,59

Расчет на усталостный изгиб зубьев

Опасным нагружением считается такое, которое соответствует моменту начала входа зуба в зацепление. Интенсивность нагрузки q _p создает две составляющие, из которых одна сжимает, а другая нагибает зуб.
Опасным сечением считается сечение у корня зуба со стороны растянутых волокон, так как закаленные стальные зубья слабее сопротивляются растяжению, чем сжатию
α_l — угол зацепления при вершине зуба

Здесь: y — коэффициент формы зуба; определяется по таблицам или графикам в зависимости от числа зубьев и коэффициента коррекции (если она есть).
Подставив значение q, введенное ране, получаем проверочную формулу:

Для проектных расчетов формула преобразуется с введением коэффициента относительной модульной ширины шестерни:

Выражая величины А и b через модуль, получаем проектную формулу:

Обычно шестерни закрытых передач рассчитываются на контактную прочность (опасным является питинг) и проверяются на изгиб; шестерни открытых передач, для которых питинг не опасен, рассчитываются только на изгиб

Определение допускаемых напряжений изгиба

Допускаемые напряжения определяются как часть от предела усталости (выносливости) материала при симметричном цикле нагружения

для нереверсивных передач

для реверсивных передач

Здесь: n₁ — коэффициент запаса прочности по пределу усталости, К_σ — коэффициент концентрации напряжений у ножки зуба, K_рн — коэффициент режима нагрузки по изгибу, можно принимать его равным 1 для большинства передач (только для очень тихоходных передач он может быть больше единицы)

Особенности расчета косозубых цилиндрических шестерен

Принципиально расчетные формулы для косозубых шестерен те же, что и для прямозубых, отличие заключается в следующем:

Оценочный параметр	Прямозубые	Косозубые
Нагрузка на зуб
Длина контактных линий

Особенности расчета конических прямозубых шестерен

Конические шестерни рассчитываются как эквивалентные им цилиндрические.
Окружное усилие определяется по среднему диаметру, расчетным является средний модуль. При определении коэффициента формы зуба принимается эквивалентное число зубьев

Коррекция зубьев шестерен

В целях уменьшения габаритов и веса машин желательно у малых шестерен число зубьев делать минимальным, однако этому препятствует подрез ножки зуба, который для эвольвентного двадцатиградусного зацепления имеет место при Z < 17 зубьев. Вводя коррекцию (теоретическое исправление профиля), можно уменьшить Z_min до 14 зубьев и даже менее

Угловая коррекция (фау-коррекция) заключается в смещении профиля зубьев малой шестерни в плюс (от центра) на величину:
V = ξ m
где ξ — коэффициент коррекции

При этом увеличивается на величину V межцентровое расстояние, а также угол зацепления, так как при раздвижке центров раздвигаются соответственно и основные окружности, к которым касательна линия зацепления

Высотная коррекция (фау-нуль-коррекция), при которой профиль зубьев малой шестерни смещается в плюс (+V), а профиль зубьев колеса на столько же — в минус (-V). При этом межцентровое расстояние и угол зацепление не меняются, изменяются лишь относительная высота головки и ножки зубьев.
Изготовление корригированных шестерен не представляет никаких трудностей

КПД зубчатых передач

Для закрытых передач в среднем:
цилиндрических η =0,98
конических η = 0,97
Для открытых передач:
цилиндрических η = 0,97
конических η = 0,96
Эти цифры включают также потери в опорах качения, которые невелики и составляют от 0,25 до 0,5 % на опору при надежной смазке

2015-09-06

5079

Расчет на усталость при циклических контактных напряжениях, также как и при циклических нормальных или касательных напряжениях базируется на кривых усталости.

Для прямозубых передач, а также для косозубых передач с небольшой разностью твердости зубьев шестерни и колеса за расчетное принимается меньшее из двух допускаемых напряжений, определенных для материала шестерни [s_H]₁ и колеса [s_H]₂. При твердости больше НВ 350 за расчетное контактное напряжение принимают среднее из [s_H]₁ и [s_H]₂ , но не более 1,25 [s_H]_min (меньшее из двух) — для цилиндрических и 1,15 [s_H]_min — для конических передач.

— в числителе для цилиндрических, в знаменателе для конических передач.

s_H0 — предел контактной выносливости определяется по кривым усталости. S_H = 1,1 — коэффициент безопасности ( при нормализации, улучшении или объемной закалке — однородная структура по объему), S_H = 1,2 — коэффициент безопасности при поверхностной закалке, цементации, азотировании — неоднородная структура).

K_HL — коэффициент долговечности учитывает влияние срока службы и режима нагрузки передачи:

, где m = 6 — показатель степени кривой усталости для контактных напряжений. При K_HL

При переменном режиме вместо N_Hi принимают N_HE — эквивалентное число циклов по формуле:

, при m = 6. при расчетах часто вместо отношения напряжений используют отношение моментов, то есть : напряжения пропорциональны квадратным корням из нагрузок.

При расчете допускаемых напряжений изгиба по аналогии с расчетом допускаемых контактных напряжений:

где S_F - принимают по таблицам в справочной литературе. s_F - определены экспериментально для каждого материала, K_FC - коэффициент, учитывающий двухстороннее приложения нагрузки, K_FC=1 - односторонняя нагрузка; K_FC - реверсивная нагрузка, большие значения при НВ > 350

K_FL — методика расчета аналогична расчету K_HL :

при НВ>350 и нешлифованной поверхностей зубьев;

81.РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ ЗУБЬЕВ ПО НАПРЯЖЕНИЯМ ИЗГИБА.

Зуб имеет сложное напряженное состояние — см. рис. 8.10. Наибольшие напряжения изгиба образуются у корня зуба в зоне перехода эвольвенты в галтель. Здесь же наблюдаются концентрация напряжений. Для того чтобы по возможности просто получить основные расчетные зависимости и уяснить влияние основных параметров на прочность зубьев, рассмотрим вначале приближенный расчет, а затем введем поправки в виде соответствующих коэффициентов. Допустим следующее (рис.):

1. Вся нагрузка зацепления передается одной парой зубьев и приложена к вершине зуба. Практика подтверждает, что этот худший случай справедлив для 7-й, 8-й и более низких степеней точности, ошибки изготовления которых не могут гарантировать наличие двухпарного зацепления. Например (см. рис. 8.16), ошибки шага приводят к тому, что зубья начинают зацепляться вершинами еще до выхода на линию зацепления. При этом вместо теоретического двухпарного зацепления будет однопарное.

2. Зуб рассматриваем как консольную балку, для которой справедлива гипотеза плоских сечений или методы сопротивления материалов. Фактически зуб подобен выступу, у которого размеры поперечного сечения соизмеримы с размерами высоты. Точный расчет напряжёний в таких элементах выполняют методами теории упругости [35]. Результаты точного расчета используют для исправления приближенного расчета путем введения теоретического коэффициента концентрации напряжений (см. ниже). На расчетной схеме , где F_t— окружная сила; a_w — угол, определяющий направление нормальной силы F_n к оси симметрии зуба. Угол a' несколько больше угла Зацепления a_w. Связь между ними — a'= a_w + Da

1 Силу F_n переносят по линии действия на ось симметрии зуба и раскладывают на составляющие

Напряжение в опасном сечении, расположенном вблизи хорды основной окружности: , где — момент сопротивления сечения при изгибе; A=-b_ws — площадь. Знак (—) в формуле указывает, что за расчетные напряжения принимают напряжения на растянутой стороне зуба, так как в большинстве случаев практики именно здесь возникают трещины усталостного разрушения (для стали растяжение опаснее сжатия).

Значения l и s неудобны для расчетов. Используя геометрическое подобие зубьев различного модуля, эти величины выражают через безразмерные коэффициенты:

где m — модуль зубьев. После подстановки и введения расчетных коэффициентов получают:

где К_F— коэффициент расчетной нагрузки; К_T — теоретический коэффициент концентрации напряжений.

Далее обозначают: , коэффициент формы зуба (для наружных зубьев (см. рис. 8.20). Этот коэффициент уже рассчитан в зависимости от числа зубьев и табулирован в справочной литературе. Для колес с внутренними зубьями приближенно можно принимать Y_F = 3,5 . 4, большее значение применьших z.

При этом для прямозубых передач расчетную формулу записывают виде:

где [s_F] — допускаемое напряжение изгиба.

Для проектных расчетов по напряжениям изгиба формулу решают относительно модуля путем замены b_w =y_m m;

и далее, принимая приближенно K_Fv = 1,5, получают значениями z₁ и y_m задаются согласно рекомендациям.

Y_F безразмерный коэффициент, значения которого зависят только от формы зуба (размеры l', s', a¢) и в том числе от формы его галтели (коэффициент К_t). Форма зуба, при одинаковом исходном контуре инструмента, зависит в основном от числа зубьев колеса z и коэффициента смещения инструмента х.

Рассмотрим эту зависимость.

Влияние числа зубьев на форму и прочность зубьев. На рис 8.21 показанo изменение формы зуба в зависимости от числа зубьев колес. чанных без смещения с постоянным модулем. При z ® ¥ колесо превращается в рейку, и зуб приобретает прямолинейные очертания. С уменьшением z уменьшается толщина зуба у основания и вершины, а также увеличиваегся кривизна эвольвентного профиля Такое изменение формы приводит к уменьшению прочности зуба.

При дальнейшем уменьшении z появляется подрезание ножки зуба (штриховая линия на рис. 8.21), прочность зуба существенно снижается. При нарезании инструментом реечного типа для прямозубых передач число зубьев на границе подрезания Z_min= 17.

82. РАСЧЕТ ЗУБЧАТЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПЕРЕДАЧ НА КОНТАКТНУЮ ВЫНОСЛИВОСТЬ.

Согласно ГОСТ 21354 — 75 формула для расчета контактных напряжений приведена в следующим виде:

эту формулу используют для проверочного расчета передачи, когда все необходимые размеры и другие параметры передачи известны.

При проектном расчете необходимо определить размеры передачи по заданным основным характеристикам: крутящему моменту Т₁ или Т₂ и передаточному числу u.

С этой целью формулу решают относительно d₁ или а_w. Другие неизвестные параметры оценивают приближенно или выбирают по рекомендациям на основе накопленного опыта. В нашем случае принимаем d_w₁ » d₁; a_w » a = 20° ; (sin 2a » 0,6428); K_Hv » 1,15; (Этот коэффициент зависит отокружной скорости V, которая пока неизвестна, поэтому принимаем некоторое среднее значение. При этом из составляющих коэффициента K_H остается коэффициент K_H_b.

Обозначим y_ba = b_w/d₁ — коэффициент ширины шестерни относительно диаметра.

Подставляя эти значения в исходную формулу и решая ее относительно диаметра находим:

Решая относительно межосевого расстояния а_w, заменяя Т₁ = Т₂/u; d₁ = 2а_w /(u+1) и вводим y_ba = b_w/a — коэффициент ширины колеса относительно межосевого расстояния. После преобразования, с учетом зависимости y_bd = 0,5 y_ba(u+1) получаем:

При расчете передач с цилиндрическими зубчатыми колесами чаще используют именно последнюю формулу, так как габариты передачи определяет преимущественно межосевое расстояние.

По тем же соображениям в формуле момент Т₁ заменяют на Т₂. Значения момента Т₂ — на ведомым валу является одной из основных характеристик передачи, интересующих потребителя (обычно указано в техническом задании).

В приложении к ГОСТ 21354 — 75 для стальных зубчатых колес формулы расчета записаны ввиде:

где для стальных прямозубых колес:

для косозубых колес:

83.РАСЧЕТ НÀ НАДЕЖНОСТЬ СБОРОЧНЫХ ЕДИНИЦ

Сборочные единицы (узлы) и машин рассчитываются на надежность одними и теми же методами и именуются механическими системами. Механические системы могут состоять из элементов как в виде деталей машин (при расчете сборочных единиц), так и из деталей и сборочные единиц (при расчете машин). Надежность является комплексным свойством, охватывающим безотказность, долговечность, ремонтопригодность и сохраняемость механических систем.

Безотказность является одной из важнейших характеристик надежности и определяется как вероятность безотказной работы механической системы в пределах заданного времени работы или требуемой наработки.

Вероятность безотказной работы механической системы может быть рассчитана различными методами, применение которых предопределяется, как правило, характером исходных данных. Наиболее употребительными являются расчеты на основе вероятностей безотказной работы отдельных элементов механических систем, например деталей машин и по интенсивности отказов невосстанавливаемых систем.

Метод расчета по интенсивности отказов может быть использован и для расчета надежности восстанавливаемых систем, но до первого отказа или - после восстановления, но также до первого отказа после ремонта, т.е. при таких расчетах не учитывается время, потребное на ремонт, в то время как надежность восстанавливаемых систем рассчитывается с учетом всех потерь времени.

Интенсивностью отказов называется отношение числа отказавших образцов элементов или систем в единицу времени к среднему числу образцов, исправно работающих в данный отрезок времени при условии, что отказавшие образцы не восстанавливаются и не заменяются новыми. Эта характеристика обычно обозначается l(t) и в ряде литературных источников называется также опасностью отказов, лямбда-характеристикой, или почасовой характеристикой

где n(t) - число отказов образцов в интервале времени от до - среднее число исправно работающих образцов в интервале D t; N_i, N_i₊₁ - соответственно число исправно работающих образцов в начале и в конце интервала D t .

Выражение (24) отображает статистическое определение интенсивности отказов, а ее вероятностным определением является

где f(t) и F(t) - соответственно плотность и функция распределения случайной величины, которой в рассматриваемом случае является время возникновения отказа.

Зависимость между вероятностью безотказной работы и интенсивностью отказов отображаются следующим образом:

. Как следует из зависимости (25), вероятность безотказной работы может быть определена наиболее просто при постоянной интенсивности отказов, например при отображении времени отказов экспоненциальным распределением

Поскольку то Отказы механических систем являются, как правило, следствием постепенного накопления повреждений, например усталостного характера, ила ухудшения свойств из-за износа, причем отличительной особенностью отказов механических систем является их проявление с "задержкой” т.е. отказы возникают по истечении некоторого времени безотказной работы. Время отказов таких систем отображается трехпараметрическими распределениями, например Вейбулла и логарифмически нормального, позволяющими отображать при помощи параметра положения, т.е. "задержки", сдвиг распределений относительно начала координат. Для механических систем, отказы которых на начальном этапе эксплуатации маловероятны, но не исключены, характерным может оказаться бета-распределение с отрицательной асимметрией.

Ниже приводятся выражения плотности f(t) вероятности безотказной работы p(t) и интенсивности отказов l(t) распределении Вейбулла 1 , логарифмически нормального 2 и бета-распределения 3 , на рис. 11 дано их графические изображения.

1. Распределение Вейбулла:

2. Логарифмически нормальное распределение'

В этих выражениях a, b, m , (среднее значение), S (среднее квадратическое отклонение) ¾ параметров распределений, t₀ ¾ параметр положения, К - параметр формы. В табл. 3 приведены [8, 9] интенсивности отказов наиболее употребительных элементов механических систем на базе 10 5 часов, а в табл. 4 - поправочные коэффициенты К_l [9], учитывающие в виде произведения К_l ×l отличие лабораторных условий, в которых получены l , от реальных.

Следует иметь в виду, что результаты расчетов на надежность по справочным данным интенсивностей отказов могут служить лишь для ориентировочной оценки вероятности безотказной работы, поскольку ориентировочными и меняющимися в широком диапазоне являются значения самих интенсивностей отказов.

При расчете на надежность механических систем без резервирования структурная схема изображается в виде последовательно соединенных элементов (рис. 12), а вероятность безотказной работы всей системы определяется как произведение вероятностей ее элементов

84. РАСЧЕТ ПРОЧНОСТИ КОНИЧЕСКИХ КОЛЕС С НЕ ПРЯМЫМИ ЗУБЬЯМИ

Выполняют по параметрам биэквивалентного колеса (двойное приведение).

Диаметр и число зубьев биэквивалентного колеса:

85.РАСЧЕТ НА ПРОЧНОСТЬ СТЕРЖНЯ ВИНТА (БОЛТА) ПРИ РАЗЛИЧНЫХ СЛУЧАЯХ НАГРУЖЕНИЯ

Стержень винта нагружен только внешней растягивающей силой. Примером служит нарезанный участок крюка для подвешивания груза (рис. 1.18). Опасным является сечение, ослабленное нарезкой. Площадь этого сечения оценивают приближенно по внутреннему диаметру d₁ резьбы. Условие прочности по напряжениям растяжения в стержне:

Допускаемые напряжения см. справочную литературу.

Болт затянут, внешняя нагрузка отсутствует. Примером служат болты для крепления ненагруженных герметичных крышек и люков корпусов машин (рис. 1.19). В этом случае стержень болта растягивается осевой силой F_зат возникающей от затяжки болта, и закручивается моментом сил в резьбе Тр—см. формулу (1.5), где F равна F_зат. Напряжение растяжения от силы F_зат,

Напряжение кручения от момента Т_Р :

Требуемое значение силы затяжки F_зат = А s_см, где А — площадь стыка деталей, приходящаяся на один болт, s_см — напряжение смятия в стыке деталей, значение которого выбирают по условиям герметичности .

Прочность болта определяют по эквивалентному напряжению:

Вычисления показывают, что для стандартных метрических резьб,s_экв= 1,3 s.

Это позволяет рассчитывать прочность болтов по упрощенной формуле:

(1.19) Расчетами и практикой установлено, что болты с резьбой меньше M10. .М12 можно разрушить при недостаточно квалифицированной затяжке. Например, болт с резьбой Мб разрушается при силе на ключе, равной 45Н; болт с резьбой М12 — при силе 180 H (см. табл. 1.6). Поэтому в среднем и тяжелом машиностроении не рекомендуют применять болты малых диаметров (меньше М8). На некоторых заводах для затяжки болтов используют специальные ключи предельного момента. Эти ключи не позволяют приложить при затяжке момент больше установленного. В таком случае отпадает необходимость ограничивать применение болтов малых диаметров (при условии, что ключи предельного момента применяют и в эксплуатации).

86.РАСЧЕТ ОТКРЫТЫХ ЧЕРВЯЧНЫХ ПЕРЕДАЧ.

Открытые червячные передачи рассчитывают на контактную прочность как и закрытые, так как для них опасность заедания более существенна чем закрытых.

Иногда в открытых передачах при большом числе зубьев прочность на изгиб оказывается недостаточной. В этих редких случаях определяют модуль зацепления из проектного расчета на изгиб:

где K_из = 1,5 — коэффициент учитывающий изнашивание, q - задаются по ГОСТ 19672—74.

87. УПРОЩЕННЫЙ (УСЛОВНЫЙ) РАСЧЕТ ПОДШИПНИКОВ СКОЛЬЖЕНИЯ

Упрощенный расчет подшипников скольжения основан на опыте конструирования и эксплуатации узлов трения машин, работающих в сходных условиях.

Расчет представляет собой проверку условий: 1) ρ

При расчете зубьев иа изгиб принимают два допущения:

1. Зуб рассматривают как балку, жестко защемленную одним концом и нагруженную силой F_n, приложенной к вершине зуба(рис. 5.3). Такое положение нагрузки является наихудшим для зуба, т.к. плечо силы F_n относительно опасного сечения зуба имеет наибольшую величину. За опасное сечение зуба принимают сечение его основания в зоне наибольшей концентрации напряжений.

2) За расчетную силу принимают полную силу зацепления F_n, следовательно, предполагают, что одновременно в зацеплении участвует только одна пара зубьев.

Перенесём силу F_n вдоль линии действия в точку, расположенную на оси симметрии зуба, и разложим на две составляющие:

силу F_t' , вызывающую в опасном сечении зуба напряжения изгиба σ_изг , и

силу F₂', взывающую в зубе напряжения сжатия σ_сж.

Зуб имеет сложное напряженное состояние. Наибольшие напряжения изгиба образуются у корня зуба в зоне перехода эвольвенты в галтель.

Здесь же наблюдается концентрация напряжений. Для того чтобы по возможности получить основные расчетные зависимости рассмотрим приближенный расчет:

1. Вся нагрузка зацепления передается одной парой зубьев и приложена к вершине зуба. Худший случай, справедлив для 7-й, 8-й и более низших степеней точности. Ошибка шага приводит к тому, что зубья начинают зацепляться вершинами еще до выхода на линию зацепления;

2. Зуб рассматриваем как консольную балку, для которой справедлива гипотеза плоских сечений или методы сопротивления материалов. Фактический зуб подобен выступу, у которого размеры поперечного сечения соизмеримы с размерами высоты.

учитывая зависимости получим Расчету на изгиб подвергают зуб того колеса, для которого соотношение меньше. где σ_F — напряжение изгиба в опасном сечении корня зуба; W — осевой момент сопротивления;

Итак, наибольшее напряжение изгиба на растянутой стороне зуба, в точке А (см. рис. 5.3,б):

Здесь Υ_F – коэффициент формы зуба.

Υ_ε – коэффициент перекрытия зубьев; для передач общего назначения Υ_ε =1 [7, с. 193];

Υ_β – коэффициент угла наклона зубьев; для прямозубых колес Υ_β =1,0 [4, c.171]

K_F – коэффициент нагрузки.

Величина коэффициента Υ_F зависит от числа зубьев колеса и смещения исходного контура [4, c.170].

С учетом (5.10) и (5.3) получим условие обеспечения усталостной прочности зубьев цилиндрических колес по напряжениям изгиба:

где T_i – вращающий момент на шестерне (i=1) или колесе (i=2), Н∙мм;

σ_F_, [σ_F] –фактические и допускаемые напряжение изгиба, мПа.

Следует иметь в виду, что:

проверочному расчету зубьев на усталостную прочность по напряжениям изгиба подвергают то колесо передачи, для которого соотношение меньше;

материалы и термообработка для шестерни и колеса назначены правильно, если соотношения примерно равны.

Если проверочный расчет показал перегрузку зубьев более 5%, то следует увеличить значение модуля (при этом изменятся числа зубьев шестерни и колеса) и расчет повторить. Поскольку межосевое расстояние при этом не меняют, то и контактная прочность зубьев сохранится на том же уровне.

Допускаемые напряжения изгиба материала колеса (или шестерни) определяют аналогично допускаемым контактным напряжениям (см. ф. (5.19)):

где σ_F _lim _в – предел выносливости зубьев при изгибе, соответствующий базовому числу циклов напряжения N₀ =4∙10 6 [4, c.187];

K_Fl– коэффициент долговечности, K_Fl =1,0 при N ≥N₀;

Υ_а– коэффициент, вводимый при двустороннем приложении нагрузки (при реверсировании), при одностороннем действии нагрузки на зуб Υ_а = 1,0 [4, c.188];

[S_F] – коэффициент запаса прочности по напряжениям изгиба; выбирают в зависимости от технологии изготовления зубчатых колес и степени ответственности передач: [S_F]=1,4…2.2. Для передач общего назначения [S_F]=1,7 [4, с.186].

Современные технологии изготовления зубчатых передач требуют, чтобы запас прочности по напряжениям изгиба не превышал 15%, а перегрузка зубьев не превышала 5%.

Однако, для передач общего назначения это требование применительно к изгибной прочности зубьев, чаще всего, не выполняется. Ресурс прочности по напряжениям изгиба много больше, чем 15%. Добиться выполнения этих требований можно:

путем уменьшения размеров опасного сечения ножки зуба (см. рис. 5.3) или

понижения прочности материала колеса, но эти меры могут привести к перегрузке зубьев колёс по контактным напряжениям свыше 5%.

И поскольку основная причина разрушения зубьев закрытых передач – это усталостное поверхностное выкрашивание зубьев колёс (Питтинг–процесс), то запас прочности зубьев по напряжениям изгиба может быть и более 15%.

Цилиндрические эвольвентные зубчатые передачи в зависимости от величины воспринимаемого смещения классифицируются следующим образом.

нулевые или равносмещенные (составленные из зубчатых колес без смещения или с равными, но противоположными по знаку смещениями) x1 = x2 = 0 или x1 = - x2 , D 1 = D 2 = 0 или D 1 = - D 2 , y Ч m = 0, y = 0, aw= a = r1 + r2 , aw = a ;

положительные (составленные из колес с положительными смещениями или когда положительное смещение одного колеса больше отрицательного смещения другого)

x1 > 0, x2 > 0 или x1 > | - x2 | , D 1 > 0, D 2 > 0 или D 1 > | - D 2 | , y Ч m > 0, y > 0, aw> a , aw > a ;

отрицательные (составленные из колес с отрицательными смещениями или когда отрицательное смещение одного колеса больше положительного смещения другого)

x1 D 1 D 2 D 2 | , y Ч m Понятие о блокирующем контуре зубчатой передачи

При проектировании зубчатой передачи необходимо решить несколько задач:

выбрать тип зубчатого механизма, его передаточное отношение и числа зубьев колес;
провести проектный прочностной расчет механизма и определить величину межосевого расстояния или модуль зубчатых колес( модуль зубчатых колес округляется до ближайшей величины из стандартного ряда модулей );
· провести геометрический расчет зубчатой передачи для выбранных коэффициентов смещения исходного контура, которые обеспечивают исключение подрезания, срезания и заострения зубьев колес и благоприятное или оптимальное сочетание качественных показателей зубчатой передачи.

Для эвольвентных зубчатых передач, по предложению М.Б.Громана, область сочетаний коэффициентов смещений зубчатых колес x1 и x2, удовлетворяющих ограничениям по срезанию в станочном зацеплении, заострению, заклиниванию в зацеплении эвольвент и на переходных кривых, по допустимым минимальным или максимальным значениям качественных показателей, называют блокирующим контуром (рис.13.2). Границы блокирующего контура отсекают те значения коэффициентов смещению которые недопустимы по указанным условиям. Значения, расположенные внутри контура, допустимы, но каждой паре коэффициентов смещения соответствует свое сочетание качественных показателей. Для выбора коэффициентов смещения на блокирующий контур наносятся изолинии качественных показателей, с использованием которых внутри контура выбираются коэффициенты смещения с оптимальным сочетанием качественных показателей. И.И.Болотовским и его сотрудниками созданы справочники, которые содержат блокирующие контуры для большого числа зубчатых передач. Построение блокирующего контура является трудоемкой вычислительной задачей и требует значительных затрат даже при применении ЭВМ. В настоящее время, с ростом производительности компьютеров, появляется возможность геометрического синтеза оптимальных зубчатых передач без предварительного построения блокирующего контура.

На рис. 13.2 ограничивающие линии блокирующего контура:

1 - коэффициент торцевого перекрытия ea =1;

2 - толщина зуба колеса z1 по окружности вершин sa1 = 0;

3 - допустимое подрезание колеса z2 ;

4 - допустимое подрезание колеса z1 ;

5 - интерференция или заклинивание с переходной кривой колеса z2. Линии качественных показателей:

6 - линия sa2 = 0.25m;

7 - линия sa2 = 0.4m;

8 - линия выравненных удельных скольжений l1=l2;

9 - линия sa1 = 0.4m;

10 - линия sa1 = 0.25m;

11 - линия x2 = x2min ;

12 - линия x1 = x1min ;

13 - линия ea = 1.2.

Качественные показатели цилиндрической эвольвентной передачи.

К качественным показателям цилиндрической эвольвентной зубчатой передачи относятся:

коэффициент торцевого перекрытия
коэффициент полезного действия
коэффициент удельного скольжения
коэффициент удельного давления
коэффициент формы зуба

Рассмотрим эти коэффициенты подробнее (исключив из рассмотрения коэффициент полезного действия, как величину характеризующую реальные, а не рассматриваемые нами идеализированные механизмы).

Коэффициент торцевого перекрытия

Коэффициентом перекрытия eg называется величина отношения угла перекрытия зубчатого колеса к его угловому шагу, где под углом перекрытия понимают угол на который поворачивается колесо за время зацепления одной пары зубьев. Для цилиндрических колес различают полное eg, торцевое ea и осевое перекрытие:

где осевое перекрытие имеется только в косозубых передачах.

Коэффициент перекрытия определяет величину зоны двухпарного контакта, когда одновременно зацепляются два последовательно расположенных зуба. Так как до окончания зацепления одной пары зубьев, следующая пара должна войти в контакт, нельзя допускать в прямозубых передачах . Допустимое значение коэффициента перекрытия должно несколько превышать единицу и, в зависимости от назначения передачи и точности ее изготовления, выбирается в пределах . Максимальное значение коэффициента перекрытия для зубчатых колес, обработанных инструментом со стандартным исходным производящим контуром, составляет . Наиболее благоприятны величины коэффициента перекрытия равные целым числам, например двум или трем. Обеспечить это можно только используя инструмент с нестандартным исходным производящим контуром. Дробные значения коэффициента перекрытия, например близкие к полутора, приводят к циклическому изменению жесткости передачи и к возникновению параметрических колебаний.

Коэффициент формы зуба

Геометрическая форма зуба в значительной мере определяет показатели его как изгибной, так и контактной прочности. Оценка влияния геометрии зуба на изгибную прочность осуществляется коэффициентом формы зуба Y. Этот коэффициент определяется через параметры балки параболиче-

ского сечения (балки равного сопротивления изгибу), которая вписывается в контур зуба так, чтобы вершина параболы располагалась в точке пересечения оси зуба и нормали к профилю в вершине, а ветви касались профиля зуба у основания ( см. схему на рис. 13.4).

где Sp - толщина зуба по хорде на окружности, проходящей через точки касания параболы и профиля зуба, l - высота от вершины параболы до хорды Sp .

Коэффициент удельного давления.

Для характеристики влияния геометрической формы зуба на контактную прочность используется коэффициент удельного давления . Из анализа формулы Герца, которая используется для оценки контактных напряжений в высшей паре, можно заключить, что единственный геометрический элемент в этой формуле - приведенный радиус кривизны

где - радиусы кривизны профилей в контактной точке, знак + относится к внешнему зацеплению, - к внутреннему. Чтобы коэффициент давления характеризовал контактное напряжение не-зависимо от абсолютных размеров зуба, которые определяются модулем, введено понятие удельного давления как отношения модуля к приведенному радиусу кривизны

Для цилиндрической прямозубой эвольвентной передачи:

Тогда для внешнего зацепления: при контакте в точке В2 (на выходе зубьев из зацепления) :

при контакте в точке В1 (на входе зубьев в зацепление)

при контакте в полюсе точке Р:

Коэффициент удельного скольжения.

Как показано выше, скорость скольжения в точке контакта профилей высшей пары определяется следующим выражением :

где l кр - расстояние от точки контакта до полюса, знак "+" для внешнего зацепления ,"-" для внутреннего. Величина износа активных частей профилей в высшей паре в значительной степени зависит от их относительного скольжения и от скорости этого скольжения. Для оценки скольжения при геометрических расчетах зубчатых передач пользуются коэффициентом удельного скольжения

где Vtki - проекция скорости контактной точки звена i на контактную нормаль. Из схемы эвольвентного зацепления ( [ 1 ] стр.105 рис. 86 )

после подстановки и преобразований для колеса z1 при контакте в точке В2 (на выходе зубьев из зацепления)

для колеса z2 при контакте в точке В1 (на входе зубьев в зацепление)

Графики изменения коэффициентов удельного давления и удельного скольжения по линии зацепления зубчатых колес.

Оптимальный геометрический синтез зубчатой передачи.

Оптимальный геометрический синтез зубчатой передачи проводится аналогично оптимальному метрическому синтезу рычажных механизмов, но с использованием других ограничений и других качественных показателей. Среди качественных показателей необходимо различать противоречивые и непротиворечивые. Так с увеличением смещений удельное давление и коэффициент формы зуба изменяются в желаемом направлении, а коэффициент торцевого перекрытия и толщины зубьев по окружностям вершин уменьшаются, что, при упрощенном рассмотрении, можно считать нежелательным. Критерии или качественные показатели, которые при принятом изменении параметров изменяются в желаемом направлении считаются непротиворечивыми (так как не противоречат друг другу), те критерии, которые при этом изменяются нежелательным образом, называются противоречивыми. При наличии противоречивых критериев эффективным методом поиска оптимума является метод "минимизации уступок". При этом методе вначале проводится оптимизация по каждому из рассматриваемых критериев, определяются значения критериев в оптимальных точках и ищутся значения параметров при которых отклонения каждого критерия от его оптимального значения будут минимальны. Необходимо отметить, что возможности параметрической оптимизации достаточно скромны. Обычно в среднем можно получить улучшение по каждому из показателей не более 10 - 20%. Более существенных результатов можно достичь при переходе к другой схеме или другому типу механизма. Кроме того при геометрическом синтезе зубчатой передаче сложно ориентироваться в сочетании качественных показателей. При анализе скольжения необходимо учитывать, что создание устойчивой масляной пленки в зоне контакта возможно при определенных значениях скорости скольжения. В полюсе зацепления скорость скольжения равна нулю и при прохождении полюса эта скорость изменяет свой знак. Поэтому в зубчатых передачах при дозаполюсном зацеплении в зоне близкой к полюсу происходит нарушение масляной пленки, что приводит к повышенному износу в этой зоне за счет контактного выкрашивания - питтинга. С этих позиций предпочтительными оказываются передачи с большими смещениями с до или заполюсным зацеплением, в которых скорость скольжения направлена в одну сторону, не имеет нулевых значений, поэтому условия для формирования масляной пленки более благоприятны.

Программное обеспечение САПР зубчатых передач.

В 70 - е годы были разработаны и приняты ГОСТ на терминологию, прочностные и геометрические расчеты эвольвентных зубчатых передач. Поэтому программное обеспечение САПР зубчатых передач по всем направлениям проводится по расчетным формулам и алгоритмам рекомендуемым ГОСТ. В ГОСТ предусмотрены два вида расчета геометрии:

по стандартному радиальному зазору в передаче;
по стандартной высоте зуба.

При изучении курса ТММ в МВТУ им. Баумана принят метод расчета по стандартной величине радиального зазора. Существующее на кафедре программное обеспечение разработано для этого вида расчета и обеспечивает расчет геометрии внешнего зацепления при фиксированном значении x2 = 0.5 и изменении x1 в диапазоне от 0 до 1.4 с шагом 0.1 . При выполнении курсового проекта по ТММ на основании этого расчета строятся графики качественных показателей, определяется область допустимых решений для коэффициента x1 и выбор этого по оптимальному сочетанию качественных показателей. На рис. 13.6 приведен пример графика. При принятых допустимых значениях

ограничения на выбор коэффициента смещения x1 :

по подрезанию X1min = 0.24 ;

по заострению колеса z1 : X1maxsa = 1.24;

по торцевому перекрытию : X1maxea = 0.84 .

Таким образом, область допустимых значений (ОДЗ), в которой можно выбирать значение x1 0.24 > x1 > 0.84 . этой области выбирается то значение x1 , которое обеспечивает наилучшее сочетание качественных показателей. Часто выбор коэффициента производят по рекомендациям ГОСТ. Для рассматриваемого случая силовой зубчатой передачи с числами зубьев z1 = 14 и z2 = 22

Косозубые цилиндрические эвольвентные передачи и особенности их расчета.

Косозубыми называются цилиндрические эвольвентные зубчатые передачи, боковая поверхность зуба которой образована наклонной прямой лежащей в производящей плоскости и образующей с линией касания с основным цилиндром угол bb ( см. схему на рис. 13.7). При этом эвольвентами основной окружности радиуса rb будут кривые лежащие в торцевой плоскости. Поэтому расчет геометрии цилиндрической косозубой передачи проводится по приведенным выше формулам для торцевого сечения. Для передачи с косыми зубьями нужно ввести несколько новых параметров:

осевой шаг - расстояние между одноименными линиями соседних винтовых зубьев по линии пересечения плоскости осевого сечения зубчатого колеса с делительной, начальной или другой соосной поверхностью. На рис. 13.7 справа изображены развертки делительного и начального цилиндров косозубого колеса. Из этой схемы:

Из схемы, изображенной на рис. 13.8

При нарезании косозубого колеса инструментальная рейка поворачивается на угол b, при этом стандартный исходный производящий контур располагается в нормальной плоскости, а в расчетной торцевой плоскости образуется другой, торцевой контур, параметры которого определим из схемы, приведенной на рис. 13.9.

Для высотных соотношений торцевого производящего контура:

Коэффициент осевого перекрытия.

В косозубых передачах величина коэффициента перекрытия увеличивается на величину торцевого перекрытия, которое (рис. 13.8) равно:

- угол осевого перекрытия для колеса z1 .

1. Для каких целей используются зубчатые механизмы? (стр.1)

2. Какая эвольвентная зубчатая передача называется передачей без смещения?(стр.1)

3. По каким признакам классифицируют зубчатые передачи?(стр.2)

4. Какие основные задачи решаются при проектировании эвольвентной передачи?(стр.2)

5. Перечислите основные качественные показатели цилиндрической эвольвентной передачи (стр.3)

6. Что показывает коэффициент перекрытия? (стр.3,4)

7. Что такое коэффициент торцевого перекрытия? Выведите формулу для ea.(стр.3)

8. Что называется косозубой эвольвентной зубчатой передачей?(стр.8)

9. Как записывается формула для коэффициента eb осевого перекрытия? (стр.10)